Мяч бросают под углом α к горизонту с одного края ямы на другой, который ниже на величину h. Ширина ямы – l. С какой минимальной начальной скоростью v0 надо бросить мяч, чтобы перебросить яму? Ускорение свободного падения g Сопротивлением воздуха пренебречь.

Для решения этой задачи воспользуемся законами движения в системе координат. Пусть мяч бросают с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту с одного края ямы на другой, который находится ниже на высоту $h$. Ширина ямы равна $l$. Нам нужно найти минимальную начальную скорость $v_0$, при которой мяч пересечет яму.

Разобьем задачу на составляющие движения в горизонтальном и вертикальном направлениях.

1. Горизонтальная составляющая движения

Так как сопротивлением воздуха пренебрегаем, то горизонтальная скорость не изменяется. Горизонтальная компонента начальной скорости равна:

Тогда для пересечения ямы на расстояние $l$ необходимо, чтобы за время $t$ мяч преодолел расстояние $l$:

Отсюда выразим время полета $t$:

2. Вертикальная составляющая движения

Вертикальная компонента начальной скорости:

Перемещение в вертикальном направлении (с учетом того, что конечная точка ниже на $h$) определяется уравнением:

Так как конечная высота относительно начальной равна $-h$, то:

Подставим сюда $t = \frac{l}{v_0 \cos \alpha}$:

Упростим выражение:

3. Выражение для начальной скорости

Теперь выразим начальную скорость $v_0$ из этого уравнения. Переносим $l \tan \alpha$ в левую часть:

Далее выразим $v_0^2$:

И, наконец, находим $v_0$:

Ответ

Минимальная начальная скорость $v_0$, с которой нужно бросить мяч, чтобы он пересек яму, равна:

Эта формула учитывает угол броска, ширину ямы, разницу в высоте и ускорение свободного падения.