Два автомобиля движутся прямолинейно и равномерно в одном направлении со следующими скоростями v1=54 км/ч и v2 =36 км/ч. В начале наблюдений расстояние между ними было равно 18 км. Через какое время первый автомобиль догонит идущий впереди второй автомобиль? Решите задачу аналитически и графически.

Чтобы решить эту задачу, сначала определим, что оба автомобиля движутся в одном направлении, при этом первый автомобиль движется быстрее второго. Важно найти время, через которое первый автомобиль догонит второй, зная начальное расстояние между ними.

Данные задачи:

1. Скорость первого автомобиля, $v_1 = 54 \, \text{км/ч}$.
2. Скорость второго автомобиля, $v_2 = 36 \, \text{км/ч}$.
3. Начальное расстояние между автомобилями, $S = 18 \, \text{км}$.

Аналитическое решение

1. Поскольку первый автомобиль движется быстрее второго, он будет постепенно сокращать расстояние между ними.
2. Пусть $t$ — время, за которое первый автомобиль догонит второй.

Для того, чтобы первый автомобиль догнал второй, он должен преодолеть расстояние $S$ между ними, двигаясь с относительной скоростью (разницей их скоростей):

Подставим значения:

3. Теперь, зная относительную скорость и расстояние, можем найти время $t$ из формулы:

Подставим значения:

Таким образом, первый автомобиль догонит второй через 1 час.

Графическое решение

Для наглядности можно построить графики зависимостей пути от времени для обоих автомобилей.

1. Пусть начальная точка для второго автомобиля будет в координате $S_2(0) = 0$.
2. Тогда начальная точка первого автомобиля будет в координате $S_1(0) = -18$ км, поскольку он находится на 18 км позади.

Пусть $S$ — путь, пройденный автомобилями через время $t$. Тогда для обоих автомобилей у нас есть линейные зависимости пути от времени:

• Для второго автомобиля (с постоянной скоростью $v_2 = 36 \, \text{км/ч}$): $$S_2(t) = v_2 \cdot t = 36t$$
• Для первого автомобиля (с постоянной скоростью $v_1 = 54 \, \text{км/ч}$), учитывая, что он начинает на 18 км позади: $$S_1(t) = v_1 \cdot t - 18 = 54t - 18$$

Теперь найдём момент времени $t$, когда $S_1(t) = S_2(t)$, то есть когда пути обоих автомобилей станут равны, что означает, что первый автомобиль догнал второй:

Перенесем $36t$ в левую часть уравнения:

Графически это означает, что через 1 час пути обоих автомобилей будут одинаковыми, и первый автомобиль догонит второй.

Ответ: Первый автомобиль догонит второй через 1 час.