На сколько будут отставать часы с маятником за сутки, если поднять его на высоту 5 км над поверхностью Земли? Маятник Математический.

Часы с маятником, основанные на принципе математического маятника, работают за счет колебаний маятника, период которых зависит от ускорения свободного падения $g$. При поднятии маятника на высоту $h$ над поверхностью Земли ускорение свободного падения уменьшается, что приводит к увеличению периода колебаний маятника. Это, в свою очередь, вызывает замедление часов.

Шаги для расчета

1. Ускорение свободного падения на высоте $h$: Формула для $g$ на высоте $h$:

   $$g_h = g_0 \left(1 - \frac{2h}{R}\right),$$

   где:

   • $g_0$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли (≈ 9.8 м/с²),
   • $h$ — высота над поверхностью (5 км = 5000 м),
   • $R$ — радиус Земли (≈ 6371 км = 6,371,000 м).

   Подставляем значения:

   $$g_h = 9.8 \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot 5000}{6,371,000}\right).$$

   После вычислений:

   $$g_h \approx 9.7969 \, \text{м/с²}.$$

2. Период математического маятника: Период колебаний маятника определяется формулой:

   $$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}},$$

   где:

   • $L$ — длина маятника,
   • $g$ — ускорение свободного падения.

   Если $g$ уменьшается, то $T$ увеличивается. Отношение периода на высоте $T_h$ к периоду на поверхности $T_0$:

   $$\frac{T_h}{T_0} = \sqrt{\frac{g_0}{g_h}}.$$

   Подставляем значения:

   $$\frac{T_h}{T_0} = \sqrt{\frac{9.8}{9.7969}} \approx 1.000159.$$

3. Суточное отставание: За сутки (86400 секунд) на поверхности Земли часы совершают $N_0$ колебаний:

   $$N_0 = \frac{86400}{T_0}.$$

   На высоте они совершают меньшее количество колебаний:

   $$N_h = \frac{86400}{T_h}.$$

   Разность $\Delta N$ в количестве колебаний за сутки:

   $$\Delta N = N_0 - N_h.$$

   Используя соотношение $\frac{T_h}{T_0}$, можно выразить $\Delta N$:

   $$\Delta N = 86400 \left(1 - \frac{1}{\frac{T_h}{T_0}}\right).$$

   Подставляем значение $\frac{T_h}{T_0} \approx 1.000159$:

   $$\Delta N \approx 86400 \cdot \left(1 - \frac{1}{1.000159}\right).$$

   После вычислений:

   $$\Delta N \approx 86400 \cdot 0.000159 \approx 13.7 \, \text{колебаний}.$$

   Так как каждое колебание соответствует периоду $T_0$, общее отставание времени:

   $$\Delta t = \Delta N \cdot T_0 \approx 13.7 \cdot T_0.$$

   Если период маятника $T_0 = 2 \, \text{с}$ (типичная длина маятника ≈ 1 м), то:

   $$\Delta t \approx 13.7 \cdot 2 \approx 27.4 \, \text{с}.$$

Итог

Часы с маятником на высоте 5 км над поверхностью Земли будут отставать примерно на 27.4 се