Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 15м/с. Какова максимальная высота подъема камня, если во время движения его максимальная скорость была в три раза больше минимальной?
1) 5м 2) 7,5 3) 10 4) 12,5 м

Для того чтобы решить задачу, давайте рассмотрим движения камня в двух компонентах: горизонтальной и вертикальной. Камень брошен под углом, и его скорость на каждом участке траектории будет изменяться из-за воздействия силы тяжести. Задача предполагает, что максимальная скорость камня в три раза больше минимальной скорости. Это дает нам важную информацию для определения максимальной высоты подъема.

Шаг 1. Рассмотрим кинематические уравнения для вертикального движения

Когда камень поднимется на максимальную высоту, его вертикальная скорость станет равной нулю, и далее начнется падение. Таким образом, минимальная скорость будет на момент достижения максимальной высоты, а максимальная скорость — это скорость, с которой камень был брошен, и которая была в три раза больше минимальной.

Пусть:

• $v_{\text{max}}$ — максимальная скорость,
• $v_{\text{min}}$ — минимальная скорость (в точке максимальной высоты).

Из условия задачи известно, что $v_{\text{max}} = 3v_{\text{min}}$.

Шаг 2. Выражение для скорости

Скорость тела при движении под углом можно записать как:

где $v_x$ — горизонтальная составляющая скорости, а $v_y$ — вертикальная составляющая скорости. Горизонтальная скорость остаётся постоянной, так как на неё не влияет сила тяжести. Поэтому максимальная скорость будет соответствовать моменту, когда вертикальная составляющая скорости равна максимальной (в момент броска), а минимальная — когда вертикальная составляющая скорости равна нулю (в точке максимальной высоты).

Шаг 3. Анализ соотношений скоростей

Пусть вертикальная скорость в момент броска — $v_{y0}$. На высоте максимума вертикальная скорость будет равна нулю, и скорость будет только горизонтальной, т.е. равной $v_x$.

Теперь рассмотрим соотношение максимальной и минимальной скоростей:

• $v_{\text{max}} = \sqrt{v_x^2 + v_{y0}^2}$,
• $v_{\text{min}} = v_x$.

По условию задачи, $v_{\text{max}} = 3v_{\text{min}}$. Подставляем:

Квадратируем обе стороны:

Преобразуем:

Таким образом, вертикальная составляющая скорости при броске $v_{y0}$ будет в $\sqrt{8}$ раз больше горизонтальной составляющей $v_x$.

Шаг 4. Использование законов сохранения энергии

Теперь перейдем к расчету максимальной высоты подъема камня. В идеализированном случае, где сопротивление воздуха отсутствует, кинетическая энергия в начале движения равна сумме кинетической энергии на высоте максимума (где вертикальная скорость равна нулю) и потенциальной энергии на этой высоте.

Кинетическая энергия в начале:

Потенциальная энергия на максимальной высоте:

где $h_{\text{max}}$ — максимальная высота, а $g$ — ускорение свободного падения.

Из закона сохранения энергии:

Сокращаем на $m$:

Теперь, зная, что $v_x = 15 \, \text{м/с}$ (это горизонтальная скорость, которая равна скорости на земле), подставляем значения: