Снаряд, летящий с некоторой скоростью, разрывается на два осколка. Первый осколок летит под углом 90 градусов к первоначальному направлению со скоростью 50 м/с, а второй - под углом 30 градусов со скоростью 100 м/с. Найдите отношение массы первого осколка к массе второго осколка.

Для того чтобы найти отношение масс двух осколков, нужно использовать принцип сохранения импульса. Этот принцип гласит, что сумма импульсов системы до и после разрыва снаряда должна оставаться постоянной, если внешние силы не действуют. Рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Обозначения и исходные данные

• Пусть масса снаряда до разрыва равна $m_0$, его скорость — $v_0$.
• После разрыва снаряд распадается на два осколка. Пусть массы этих осколков равны $m_1$ и $m_2$, их скорости — $v_1 = 50 \, \text{м/с}$ и $v_2 = 100 \, \text{м/с}$, соответственно.
• Угол между направлениями движения осколков: первый осколок летит под углом 90° к первоначальному направлению, а второй — под углом 30°.
• Пусть начальная скорость снаряда $v_0$ известна, но мы её не будем учитывать напрямую, так как через принцип сохранения импульса можем найти нужное отношение масс.

2. Составление уравнений для сохранения импульса

Сначала разобьём импульс на компоненты по осям $x$ и $y$.

Импульс по оси $x$ до разрыва:

До разрыва снаряд движется только по оси $x$, и его импульс равен:

Импульс по оси $y$ до разрыва:

До разрыва снаряд не имеет компоненты импульса по оси $y$:

Теперь рассмотрим импульс по осям $x$ и $y$ после разрыва.

Импульс по оси $x$ после разрыва:

Компоненты импульса каждого осколка по оси $x$ можно найти как $m \cdot v \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ — угол отклонения от оси $x$.

• Для первого осколка ($v_1 = 50 \, \text{м/с}$, угол $90^\circ$): его компонент импульса по оси $x$ равен нулю, так как $\cos(90^\circ) = 0$.
• Для второго осколка ($v_2 = 100 \, \text{м/с}$, угол $30^\circ$): его компонент импульса по оси $x$ равен $m_2 \cdot 100 \cdot \cos(30^\circ) = m_2 \cdot 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} m_2$.

Таким образом, суммарный импульс по оси $x$ после разрыва:

Импульс по оси $y$ после разрыва:

• Для первого осколка его компонент импульса по оси $y$ равен $m_1 \cdot 50 \cdot \sin(90^\circ) = 50 m_1$.
• Для второго осколка его компонент импульса по оси $y$ равен $m_2 \cdot 100 \cdot \sin(30^\circ) = m_2 \cdot 100 \cdot \frac{1}{2} = 50 m_2$.

Таким образом, суммарный импульс по оси $y$ после разрыва:

3. Применение закона сохранения импульса

Теперь применим закон сохранения импульса:

• По оси $x$: $m_0 v_0 = 50\sqrt{3} m_2$.
• По оси $y$: $0 = 50 m_1 + 50 m_2$.

Из уравнения по оси $y$ получаем: