Заряженный конденсатор замкнули замкнули на катушку индуктивности. Через какую часть периода T после подключения энергии в конденсаторе будет равна энергии в катушке индуктивности?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим поведение заряженного конденсатора в электрической цепи с катушкой индуктивности.

Когда мы замкнули цепь, состоящую из конденсатора и катушки индуктивности, начинается процесс обмена энергии между этими двумя элементами. Конденсатор заряжен и хранит свою энергию в виде электрического поля, а катушка индуктивности, в свою очередь, будет накапливать энергию в магнитном поле, когда через неё будет проходить ток.

1. Энергия в конденсаторе зависит от напряжения на его обкладках и выражается формулой:
   $E_C = \frac{1}{2} C U^2$,
   где $E_C$ — энергия в конденсаторе, $C$ — ёмкость конденсатора, а $U$ — напряжение на конденсаторе.

2. Энергия в катушке индуктивности зависит от тока в цепи и выражается формулой:
   $E_L = \frac{1}{2} L I^2$,
   где $E_L$ — энергия в катушке индуктивности, $L$ — индуктивность катушки, а $I$ — ток в цепи.

Взаимный обмен энергии

• В начале, когда конденсатор полностью заряжен и ток в цепи равен нулю, вся энергия находится в конденсаторе.
• Когда цепь замкнута, энергия начинает передаваться от конденсатора к катушке: ток начинает протекать, и в катушке индуктивности возникает магнитное поле, что приводит к накоплению энергии в катушке.
• Через некоторое время ток в цепи максимален, а энергия в конденсаторе минимальна (или равна нулю, если все энергия переходит в катушку).

Теперь вопрос: через какую часть периода T энергия в катушке индуктивности станет равной энергии в конденсаторе?

Решение

Электрический контур с конденсатором и катушкой индуктивности (LC-цепь) имеет свой период колебаний $T$. В ходе этих колебаний энергия в конденсаторе и катушке будет периодически переходить из одной формы в другую, и при некотором времени они могут быть равны.

1. Период полного колебания $T$ определяется по формуле:

   $$T = 2\pi \sqrt{LC}$$

   где $L$ — индуктивность катушки, $C$ — ёмкость конденсатора.

2. Энергии в конденсаторе и катушке индуктивности меняются с течением времени. Когда энергия в катушке равна энергии в конденсаторе, это происходит в момент времени, который соответствует $t = \frac{T}{4}$, то есть через четверть периода.

Почему именно через $T/4$?

• В начале (в момент $t = 0$) вся энергия сосредоточена в конденсаторе.
• Через $T/4$ энергия в конденсаторе начинает уменьшаться, а в катушке индуктивности — увеличиваться. В этот момент энергии в обеих компонентах будут равны.
• В момент $t = T/2$ вся энергия будет сконцентрирована в катушке индуктивности, а в конденсаторе её не будет.

Таким образом, через четверть периода $T$ энергия в катушке индуктивности будет равна энергии в конденсаторе.

Ответ: через T/4.