Амплитуда колебаний пружинного маятника 8 см. При каком смещении от положения равновесия кинетическая энергия маятника в 3 раза больше потенциальной?

Чтобы решить задачу, начнем с определения энергии пружинного маятника. Общая механическая энергия $E$ в системе сохраняется и состоит из кинетической энергии ($K$) и потенциальной энергии ($U$):

Потенциальная энергия пружины выражается как:

где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — смещение от положения равновесия.

Кинетическая энергия определяется выражением:

Но можно выразить $K$ через общую энергию и потенциальную энергию:

Общая энергия $E$ равна максимальной потенциальной энергии, когда $x = A$ (амплитуда колебаний):

где $A = 8 \, \text{см} = 0.08 \, \text{м}$.

Теперь нам нужно найти такое $x$, при котором кинетическая энергия в 3 раза больше потенциальной, то есть:

Подставим $K = E - U$ в это уравнение:

Решим относительно $U$:

Поскольку $U = \frac{1}{2} k x^2$, а $E = \frac{1}{2} k A^2$, имеем:

Сокращая $\frac{1}{2} k$ по обе стороны уравнения, получаем:

Извлекаем корень:

Подставляем значение амплитуды $A = 8 \, \text{см}$:

Ответ: Кинетическая энергия будет в 3 раза больше потенциальной, если смещение от положения равновесия равно $\pm 4 \, \text{см}$.