на окружности взяты точки А, В, С так, что центр окружности О оказался во внутренней области треугольника АВС и угол АОВ=128 градусов, угол ВОС= 152.
Найти углы треугольника АВС.

Рассмотрим решение задачи.

1. Анализ углов при окружности:

   • Центр $O$ окружности лежит внутри треугольника $ABC$, а значит, треугольник является остроугольным.
   • Угол $AOB = 128^\circ$ и угол $BOC = 152^\circ$.
   • Так как сумма углов вокруг точки $O$ равна $360^\circ$, то угол $COA$ можно найти как: $$\angle COA = 360^\circ - \angle AOB - \angle BOC = 360^\circ - 128^\circ - 152^\circ = 80^\circ.$$

2. Свойства вписанных углов:

   • Центральный угол, опирающийся на дугу, вдвое больше вписанного угла, который опирается на ту же дугу.
   • Следовательно, углы $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ являются половинами соответствующих центральных углов.

3. Нахождение углов треугольника $ABC$:

   • Угол $A$ опирается на дугу $BC$, поэтому: $$\angle A = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{152^\circ}{2} = 76^\circ.$$
   • Угол $B$ опирается на дугу $CA$, поэтому: $$\angle B = \frac{\angle COA}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ.$$
   • Угол $C$ опирается на дугу $AB$, поэтому: $$\angle C = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{128^\circ}{2} = 64^\circ.$$

4. Проверка суммы углов треугольника:

   • Сумма углов треугольника должна равняться $180^\circ$: $$\angle A + \angle B + \angle C = 76^\circ + 40^\circ + 64^\circ = 180^\circ.$$
   • Условие выполнено.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $76^\circ$, $40^\circ$ и $64^\circ$.