Найди область определения и множество значений функции y=x в степени -7​

Для того чтобы найти область определения и множество значений функции $y = x^{-7}$, разберём её по шагам.

1. Область определения

Функция $y = x^{-7}$ — это степенная функция. Запишем её в эквивалентном виде:

Здесь видно, что в знаменателе стоит $x^7$, и возникает важное ограничение: знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль в математике не определено. Следовательно, функция не определена при $x = 0$.

Таким образом, область определения функции — это все вещественные числа, кроме $x = 0$. Математически это можно записать так:

То есть:

2. Множество значений

Теперь рассмотрим множество значений функции. Поскольку $y = \frac{1}{x^7}$, давайте разберём, как ведёт себя функция при различных значениях $x$.

• Когда $x > 0$ (то есть положительные числа), $x^7$ остаётся положительным, так как нечетная степень сохраняет знак числа. Следовательно, $\frac{1}{x^7}$ будет положительным, но очень маленьким для больших значений $x$ и очень большим для маленьких $x$ (ближе к нулю).

• Когда $x < 0$ (отрицательные числа), $x^7$ также будет отрицательным (нечётная степень сохраняет знак отрицательного числа). Следовательно, $\frac{1}{x^7}$ будет отрицательным, причём для значений $x$, близких к нулю, функция будет стремиться к большим отрицательным значениям, а при больших отрицательных $x$ значение функции стремится к нулю с отрицательной стороны.

Таким образом, функция может принимать любые положительные и отрицательные значения, кроме $y = 0$, так как $y = 0$ невозможно получить для любого значения $x$, при $x \to \pm \infty$ функция лишь приближается к нулю, но никогда его не достигает.

Множество значений функции:

Вывод

• Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$
• Множество значений: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$

Таким образом, функция $y = x^{-7}$ определена для всех чисел, кроме нуля, и принимает любые значения, кроме нуля.