Помогите! Постройте график тригонометрической функции у=½ sin х/2 - ½

Найти:


1) Нули функции


2) И асимптоты функции

Чтобы помочь тебе построить график функции $y = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$, давай пошагово разберем, как это сделать, и ответим на поставленные вопросы:

1) Нули функции

Нули функции — это такие значения $x$, при которых $y = 0$. Для этого нужно решить уравнение:

Упростим его:

Теперь избавляемся от коэффициента $\frac{1}{2}$:

Значение синуса равно 1, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Следовательно, получаем уравнение для $x$:

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

Таким образом, нули функции находятся в точках $x = \pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (то есть $x = \pi, 5\pi, 9\pi, \dots$).

2) Асимптоты функции

Функция $y = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$ не имеет вертикальных или наклонных асимптот. Это связано с тем, что синус — периодическая и ограниченная функция, его график колеблется в пределах от -1 до 1. Значение $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ никогда не стремится к бесконечности, поэтому вертикальных асимптот у этой функции нет.

Также нет горизонтальных асимптот, так как функция не приближается к какому-то фиксированному значению при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$. Вместо этого она колеблется в пределах от $-1$ до $0$ (с учетом того, что $\frac{1}{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right)$ принимает значения от $-\frac{1}{2}$ до $\frac{1}{2}$).

Построение графика

Теперь коротко разберём, как построить график функции. График будет подобен стандартному графику функции $\sin(x)$, но:

1. Амплитуда функции уменьшена в 2 раза, так как перед синусом стоит коэффициент $\frac{1}{2}$. Теперь максимум функции будет равен $0$, а минимум — $-1$.
2. Функция сжата по горизонтали в 2 раза, так как внутри синуса стоит деление на 2. Это значит, что период увеличится до $4\pi$.
3. График смещён вниз на $\frac{1}{2}$ единицы, что делает среднее положение кривой $y = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, график будет осциллировать вокруг линии $y = -\frac{1}{2}$, а не вокруг оси $y = 0$.

Надеюсь, это поможет тебе с построением графика и решением задачи!