Сколькими способами можно поставить вместо ∗ цифры так, чтобы число ∗2345678∗ делилось на 11?

Для того чтобы решить задачу, нужно использовать признак делимости числа на 11. Согласно этому признаку, число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечётных позициях, и суммой цифр, стоящих на чётных позициях, делится на 11.

Рассмотрим число $*2345678*$. Здесь под звёздочками $*$ подразумеваются две неизвестные цифры, которые мы будем подбирать. Число имеет 8 цифр, и для удобства мы обозначим их позиции слева направо от 1 до 8. Тогда для нашего числа цифры располагаются на следующих позициях:

1. Первая звёздочка ($*$) — позиция 1.
2. 2 — позиция 2.
3. 3 — позиция 3.
4. 4 — позиция 4.
5. 5 — позиция 5.
6. 6 — позиция 6.
7. 7 — позиция 7.
8. Вторая звёздочка ($*$) — позиция 8.

Теперь разделим эти цифры на чётные и нечётные позиции:

• Нечётные позиции (1, 3, 5, 7) содержат: первую звёздочку ($*$), 3, 5, и 7.
• Чётные позиции (2, 4, 6, 8) содержат: 2, 4, 6 и вторую звёздочку ($*$).

Обозначим первую звёздочку как $a$, а вторую — как $b$. Тогда мы можем записать суммы чисел на нечётных и чётных позициях:

1. Сумма на нечётных позициях: $a + 3 + 5 + 7 = a + 15$.
2. Сумма на чётных позициях: $2 + 4 + 6 + b = 12 + b$.

Для того чтобы число $*2345678*$ делилось на 11, разность между суммой цифр на нечётных и чётных позициях должна делиться на 11. То есть должно выполняться следующее условие:

Упростим это выражение:

Это равенство можно переписать так:

или что то же самое:

Теперь найдём все возможные пары значений $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому соотношению, при условии, что $a$ и $b$ — это цифры, то есть целые числа от 0 до 9.

Путём подбора получаем такие пары $(a, b)$:

• $a = 8$, $b = 0$
• $a = 9$, $b = 1$

Проверим каждую пару:

1. Если $a = 8$ и $b = 0$, то число становится $823456780$, и оно делится на 11.
2. Если $a = 9$ и $b = 1$, то число становится $923456781$, и оно также делится на 11.

Таким образом, существует два способа подставить цифры вместо звёздочек $*$ так, чтобы число $*2345678*$ делилось на 11.