Дана функция y=f(x) где: f(x) = x+3 если -5≤ x < -1
X² если -1 ≤ x ≤ 3
Вычислите :
а),f(-2), f(-1), f(0), f(3)
б) укажите область определения функции y=f(x)
Все это с графиком

Решение:

а) Вычислим значения функции в заданных точках:

Функция задана двумя частями:

1. f(x) = x + 3 для $-5 \leq x < -1$
2. f(x) = x^2 для $-1 \leq x \leq 3$

Теперь подставим значения для каждой из точек.

1. f(-2)

$-2$ попадает в область определения первой части функции: $-5 \leq x < -1$.
Значит, используем формулу $f(x) = x + 3$:

$f(-2) = -2 + 3 = 1$

2. f(-1)

$-1$ попадает на границу интервала, где функция меняется, и входит в область второй части функции: $-1 \leq x \leq 3$.
Значит, используем формулу $f(x) = x^2$:

$f(-1) = (-1)^2 = 1$

3. f(0)

$0$ попадает в интервал $-1 \leq x \leq 3$, значит, используем формулу $f(x) = x^2$:

$f(0) = 0^2 = 0$

4. f(3)

$3$ попадает на правую границу интервала $-1 \leq x \leq 3$, значит, используем формулу $f(x) = x^2$:

$f(3) = 3^2 = 9$

Итак, значения функции:

• $f(-2) = 1$
• $f(-1) = 1$
• $f(0) = 0$
• $f(3) = 9$

б) Область определения функции $y = f(x)$

Функция $f(x)$ определена двумя выражениями для интервалов $-5 \leq x < -1$ и $-1 \leq x \leq 3$. Объединим эти два интервала.

Таким образом, область определения функции:

$D(f) = [-5, 3]$

Функция определена на отрезке от $-5$ до $3$, включая концы отрезка.

Построение графика:

1. Для интервала $-5 \leq x < -1$, функция является линейной: $f(x) = x + 3$. Это прямая линия, которая начинается в точке $(-5, -2)$ и продолжается до точки $(-1, 2)$, но точка $(-1, 2)$ не включается (отмечаем её как пустую точку).
2. Для интервала $-1 \leq x \leq 3$, функция является квадратичной: $f(x) = x^2$. Это парабола, которая начинается в точке $(-1, 1)$ и продолжается до точки $(3, 9)$.

График функции состоит из двух частей: линейного участка для $-5 \leq x < -1$ и параболического для $-1 \leq x \leq 3$.

Сейчас я покажу вам визуализацию этого графика.

На графике представлены две части функции:

1. Линейный участок $f(x) = x + 3$ для $-5 \leq x < -1$ изображен синим цветом.
2. Квадратичная часть $f(x) = x^2$ для $-1 \leq x \leq 3$ изображена оранжевым цветом.

Красными точками отмечены значения функции в точках, которые мы рассчитали: $f(-2) = 1$, $f(-1) = 1$, $f(0) = 0$, и $f(3) = 9$.

Таким образом, функция состоит из линейного и квадратичного участков, которые плавно соединяются на границе при $x = -1$. ​​