1. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,6, из второго – 0,8, из третьего – 0,7. Найдите вероятность того, что: А) Только один снаряд попадет в цель;
Б) Снаряд попадет в цель ровно 3 раза;
В) Снаряд попадет в цель меньше трех раз;
Г) Снаряд попадет в цель только при первом залпе.

Для решения задачи найдем вероятность каждого из интересующих нас событий, используя формулы для вероятности и законы комбинаторики.

Дано:

• Вероятность попадания из первого орудия: $p_1 = 0.6$
• Вероятность попадания из второго орудия: $p_2 = 0.8$
• Вероятность попадания из третьего орудия: $p_3 = 0.7$

Решение:

1. Найдем вероятность того, что только один снаряд попадет в цель (событие A).

Для этого случая возможны три ситуации:

1. Попадает снаряд из первого орудия, а из второго и третьего – нет.
2. Попадает снаряд из второго орудия, а из первого и третьего – нет.
3. Попадает снаряд из третьего орудия, а из первого и второго – нет.

Каждую из вероятностей считаем по формуле: $P(\text{только одно попадание}) = P(\text{попадет первое, не попадет второе, не попадет третье}) + P(\text{не попадет первое, попадет второе, не попадет третье}) + P(\text{не попадет первое, не попадет второе, попадет третье})$

1. Вероятность того, что попадает только первое орудие:

   $$P(\text{попадет только первое}) = p_1 \cdot (1 - p_2) \cdot (1 - p_3) = 0.6 \cdot (1 - 0.8) \cdot (1 - 0.7) = 0.6 \cdot 0.2 \cdot 0.3 = 0.036$$

2. Вероятность того, что попадает только второе орудие:

   $$P(\text{попадет только второе}) = (1 - p_1) \cdot p_2 \cdot (1 - p_3) = 0.4 \cdot 0.8 \cdot 0.3 = 0.096$$

3. Вероятность того, что попадает только третье орудие:

   $$P(\text{попадет только третье}) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2) \cdot p_3 = 0.4 \cdot 0.2 \cdot 0.7 = 0.056$$

Суммируем эти вероятности:

Ответ на пункт А: $P(\text{только одно попадание}) = 0.188$.

2. Найдем вероятность того, что снаряд попадет в цель ровно три раза (событие Б).

Чтобы снаряд попал в цель ровно три раза, каждое из орудий должно точно попасть. Вероятность этого равна произведению вероятностей для каждого орудия:

Ответ на пункт Б: $P(\text{три попадания}) = 0.336$.

3. Найдем вероятность того, что снаряд попадет в цель меньше трех раз (событие В).

В данном случае рассматриваем события, где снаряд попадает либо 0 раз, либо 1 раз, либо 2 раза.

Находим вероятность того, что снаряд попадет меньше трех раз через обратное событие (дополнение), то есть вероятность того, что попадания будет 3 раза, мы уже нашли, и она равна $P(\text{три попадания}) = 0.336$.

Следовательно,

Ответ на пункт В: $P(\text{меньше трех раз}) = 0.664$.

4. Найдем вероятность того, что снаряд попадет в цель только при первом залпе (событие Г).

В условии говорится, что был произведен залп, то есть все три орудия выстрелили одновременно. Соответственно, вероятность попадания при «первом залпе» относится к вероятности хотя бы одного попадания при залпе, а не к одному выстрелу.

В случае «первого залпа» мы уже учли все возможности и события, описанные выше, поэтому ответ на этот вопрос совпадает с вероятностью того, что хотя бы одно орудие попадет в цель. Найдем эту вероятность через обратное событие (когда не попадает ни одно орудие):

1. Вероятность того, что не попадет первое орудие: $1 - p_1 = 0.4$
2. Вероятность того, что не попадет второе орудие: $1 - p_2 = 0.2$
3. Вероятность того, что не попадет третье орудие: $1 - p_3 = 0.3$

Вероятность того, что ни одно орудие не попадет:

Следовательно, вероятность того, что снаряд попадет хотя бы один раз (т.е. при первом залпе будет попадание):

Ответ на пункт Г: $P(\text{хотя бы одно попадание при залпе}) = 0.976$.

Окончательные ответы:

• А) Вероятность того, что только один снаряд попадет в цель: $0.188$.
• Б) Вероятность того, что снаряд попадет ровно три раза: $0.336$.
• В) Вероятность того, что снаряд попадет меньше трех раз: $0.664$.
• Г) Вероятность того, что снаряд попадет хотя бы один раз при первом залпе: $0.976$.