Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии 8,12,18

Чтобы найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии, нужно сначала определить, является ли последовательность 8, 12, 18 геометрической прогрессией. В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число — общее отношение прогрессии (q).

В данном случае, давайте найдем общее отношение между членами:

1. Определим общее отношение:
   • $q_1 = \frac{12}{8} = 1.5$
   • $q_2 = \frac{18}{12} = 1.5$

Мы видим, что $q_1$ и $q_2$ равны, значит, это действительно геометрическая прогрессия с первым членом $a = 8$ и общим отношением $q = 1.5$.

2. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

   $$S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$

   где:

   • $S_n$ — сумма первых n членов,
   • $a$ — первый член прогрессии,
   • $q$ — общее отношение,
   • $n$ — количество членов, которые мы хотим сложить.

3. Подставим значения: Для нашей прогрессии $a = 8$, $q = 1.5$, и $n = 6$:

   $$S_6 = 8 \frac{1 - (1.5)^6}{1 - 1.5}$$

4. Вычислим $(1.5)^6$:

   • $(1.5)^6 = 11.390625$ (приблизительно).

5. Теперь подставим в формулу:

   $$S_6 = 8 \frac{1 - 11.390625}{1 - 1.5} = 8 \frac{-10.390625}{-0.5} = 8 \times 20.78125$$ $$S_6 \approx 166.25$$

Таким образом, сумма шести первых членов данной геометрической прогрессии составляет приблизительно 166.25.