Найдите множество допустимых значений переменной выражения y-1/y(y+4)

Чтобы найти множество допустимых значений выражения $\frac{y - 1}{y(y + 4)}$, нужно определить такие значения $y$, при которых это выражение имеет смысл. Давайте разберемся по шагам:

1. Определим область допустимых значений переменной $y$.

   Выражение $\frac{y - 1}{y(y + 4)}$ содержит знаменатель $y(y + 4)$, который не должен быть равен нулю, поскольку деление на ноль не определено. Таким образом, необходимо исключить такие значения $y$, при которых знаменатель обращается в ноль:

   $$y(y + 4) = 0.$$

   Из этого уравнения видно, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   $$y = 0 \quad \text{или} \quad y + 4 = 0.$$

   Решая второе уравнение, получаем:

   $$y = -4.$$

   Значит, $y$ не может быть равен $0$ или $-4$. Итак, область допустимых значений переменной $y$ (множество допустимых значений переменной) будет:

   $$y \in \mathbb{R} \setminus \{0, -4\}.$$

2. Анализ значений выражения.

   Теперь, когда мы знаем область допустимых значений переменной $y$, можно проанализировать, как ведет себя само выражение в этой области. Поскольку знаменатель $y(y + 4)$ меняет знак в зависимости от значений $y$, нам также важно учесть знаки числителя и знаменателя.

3. Поведение выражения на критических точках.

   При $y \to 0$ или $y \to -4$ выражение $\frac{y - 1}{y(y + 4)}$ стремится к бесконечности (либо $+\infty$, либо $-\infty$, в зависимости от направления приближения). Это значит, что при $y \to 0^+$ и $y \to -4^+$ или $y \to 0^-$ и $y \to -4^-$ значения выражения будут стремиться к большим положительным или отрицательным величинам.

   В остальных случаях, когда $y$ не равен $0$ или $-4$, выражение принимает конечные значения.