Лодка в 6:30 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 33 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 45, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 5 км/ч.

Давайте подробно разберем решение задачи.

Дано:

1. Расстояние между пунктами А и В составляет $33 \, \text{км}$.
2. Лодка вышла из пункта А в 6:30 и вернулась обратно в 23:00 того же дня.
3. В пункте В лодка пробыла $2\text{ часа }45\text{ минут}$.
4. Скорость течения реки составляет $5 \, \text{км/ч}$.

Найти:

Собственную скорость лодки в стоячей воде ($v_\text{лодки}$).

Обозначения:

• $v_\text{лодки}$ — собственная скорость лодки.
• $v_\text{реки} = 5 \, \text{км/ч}$ — скорость течения реки.
• Время движения от А до В — $t_{\text{туда}}$.
• Время движения от В до А — $t_{\text{обратно}}$.

Решение:

1. Определим общее время в пути

Время от отправления (6:30) до возвращения (23:00):

Из этого времени лодка пробыла в пункте В $2 \text{ часа } 45 \text{ минут}$, что в десятичной форме времени составляет:

Таким образом, чистое время, затраченное на движение туда и обратно, составит:

2. Выразим время движения туда и обратно

При движении от А к В лодке помогает течение, поэтому её скорость по течению будет:

При движении от В к А лодке нужно преодолевать течение, поэтому её скорость против течения будет:

Время, затраченное на путь от А до В:

Время, затраченное на путь от В до А:

Так как суммарное время движения туда и обратно равно $13,75 \text{ часов}$, получаем уравнение:

3. Решаем уравнение

Умножим обе части уравнения на $(v_\text{лодки} + 5)(v_\text{лодки} - 5)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой:

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

Теперь можно решить это квадратное уравнение, используя дискриминант.

4. Найдём дискриминант и решим уравнение

Коэффициенты квадратного уравнения:

• $a = 13,75$
• $b = -66$
• $c = -343,75$

Вычислив дискриминант и корни, находим $v_\text{лодки}$.