Построй график функции y=∣x^2 −x−6∣ и определи, при каком значении m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки. Очень срочно!!!

Чтобы построить график функции $y = |x^2 - x - 6|$ и определить, при каком значении $m$ прямая $y = m$ имеет с этим графиком ровно три общие точки, пройдемся по нескольким шагам.

Шаг 1: Исследуем функцию $y = x^2 - x - 6$

1. Запишем функцию под знаком модуля:

   $$f(x) = x^2 - x - 6$$

2. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$, чтобы понять, где функция меняет знак, и как это повлияет на модуль.

   Для этого воспользуемся дискриминантом:

   $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

3. Найдем корни:

   $$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = 3, \quad x_2 = -2$$

Таким образом, $f(x) = x^2 - x - 6$ имеет корни в точках $x = 3$ и $x = -2$. На промежутках между этими корнями функция меняет знак.

Шаг 2: Построение функции $y = |x^2 - x - 6|$

Так как мы берем модуль от $f(x)$, то нужно рассмотреть поведение функции на трех промежутках:

1. При $x < -2$: На этом промежутке $f(x) > 0$, так как парабола направлена вверх, и снаружи корней функция положительна. Здесь $y = x^2 - x - 6$.

2. При $-2 \leq x \leq 3$: На этом промежутке $f(x) \leq 0$, поэтому модуль от функции будет равен $y = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6$.

3. При $x > 3$: Здесь, как и на первом промежутке, $f(x) > 0$, и модуль не изменяет знак. Поэтому $y = x^2 - x - 6$.

Шаг 3: Построим график функции

График $y = |x^2 - x - 6|$ будет выглядеть как "парабола, отразившаяся вверх" на промежутке $-2 \leq x \leq 3$. Чтобы отразить это в графике:

• На промежутках $x < -2$ и $x > 3$ график будет как у функции $y = x^2 - x - 6$.
• На промежутке $-2 \leq x \leq 3$ график будет как у функции $y = -x^2 + x + 6$, что соответствует "зеркальному" отображению исходной параболы вверх на этом интервале.

Шаг 4: Определим значение $m$ для прямой $y = m$

Теперь нужно найти значение $m$, при котором прямая $y = m$ пересекает график функции ровно в трех точках. Чтобы это произошло, прямая должна:

1. Коснуться нижней вершины параболы (в точке минимума на интервале $-2 \leq x \leq 3$),
2. Пересечь график дважды в других точках.

На интервале $-2 \leq x \leq 3$ вершина функции $-x^2 + x + 6$ имеет максимум. Найдем значение $y$ в этой вершине, чтобы определить положение максимума, и от этого значения будем опускаться, чтобы получить пересечение в трёх точках.

1. Вершина параболы $y = -x^2 + x + 6$ находится в точке:

   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{-2} = 0.5$$

2. Подставим $x = 0.5$ в $y = -x^2 + x + 6$:

   $$y = -(0.5)^2 + 0.5 + 6 = -0.25 + 0.5 + 6 = 6.25$$