Постройте график функции y = |3x - 5| + |4x - 7| и определите, при каких значениях p прямая y = p имеет с графиком ровно одну общую точку. (Запишите последовательно, что делали, желательно с объяснением).

Разберём модуль по точкам, где выражения под модулем равны нулю:

\(3x-5=0\), значит \(x=\frac{5}{3}\);
\(4x-7=0\), значит \(x=\frac{7}{4}\).

Теперь рассматриваем три промежутка:

1) Если \(x<\frac{5}{3}\), оба выражения отрицательные:

\[y=-(3x-5)-(4x-7)=12-7x\]

2) Если \(\frac{5}{3}\le x<\frac{7}{4}\), первое выражение положительное, второе отрицательное:

\[y=(3x-5)-(4x-7)=2-x\]

3) Если \(x\ge \frac{7}{4}\), оба выражения положительные:

\[y=(3x-5)+(4x-7)=7x-12\]

Получаем кусочно-линейный график:

\[y=\begin{cases}12-7x,\ x<\frac{5}{3},\\2-x,\ \frac{5}{3}\le x<\frac{7}{4},\\7x-12,\ x\ge \frac{7}{4}.\end{cases}\]

Найдём наименьшее значение функции. В точке \(x=\frac{7}{4}\):

\[y=7\cdot \frac{7}{4}-12=\frac{49}{4}-\frac{48}{4}=\frac{1}{4}\]

До этой точки график убывает, после неё возрастает. Значит, прямая \(y=p\) имеет с графиком ровно одну общую точку только тогда, когда проходит через вершину графика.

Ответ: \(p=\frac{1}{4}\).

0 0 Пожаловаться