Выписали все натуральные числа от 1 до 99 без промежутков, получилось огромное число.
а) Сколько раз в записи этого числа повторяется цифра 1? Цифра 2?
б) Делится ли это число на 9?

Задание от клуба знатоков.
(Принимается только с полным ответом, с пояснениями, вычислениями и доказательствами, с отличным оформлением.)

Записали число:

\[123456789101112\ldots979899\]

а) Сколько раз встречается цифра 1?

Сначала смотрим числа от 1 до 9. Там цифра 1 встречается 1 раз: в числе \(1\).

Теперь смотрим числа от 10 до 99.

• В разряде десятков цифра 1 стоит в числах от 10 до 19. Это 10 раз.
• В разряде единиц цифра 1 стоит в числах 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91. Это 9 раз.

Итого:

\[1+10+9=20\]

Цифра 1 встречается 20 раз.

Сколько раз встречается цифра 2?

В числах от 1 до 9 цифра 2 встречается 1 раз: в числе \(2\).

В числах от 10 до 99:

• В разряде десятков цифра 2 стоит в числах от 20 до 29. Это 10 раз.
• В разряде единиц цифра 2 стоит в числах 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. Это 9 раз.

Итого:

\[1+10+9=20\]

Цифра 2 тоже встречается 20 раз.

б) Делится ли огромное число на 9?

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Сумма цифр в записи чисел от 1 до 99:

В каждом десятке сумма единиц равна:

\[0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45\]

Таких десятков от 0 до 9 — 10, значит сумма цифр единиц:

\[45\cdot10=450\]

Сумма цифр десятков: каждая цифра от 1 до 9 стоит в десятках по 10 раз:

\[(1+2+3+4+5+6+7+8+9)\cdot10=45\cdot10=450\]

Общая сумма цифр:

\[450+450=900\]

Так как \(900\) делится на \(9\), то и всё огромное число делится на \(9\).

Ответ: цифра 1 встречается 20 раз, цифра 2 встречается 20 раз; огромное число делится на 9.

0 0 Пожаловаться