Показательные уравнения и неравенства.
Решите уравнение:
2^x-1 + 2^x = 6
Показательные неравенства:
7^(x^2-2x-8)>=1
5^x*2^1-x+5^x+1*2^-x>7*(0,4)^-(3/x)

В первом уравнении запись без скобок неоднозначна. Если имелось в виду \(2^{x-1}+2^x=6\), то:

\[2^{x-1}+2\cdot2^{x-1}=6\]

\[3\cdot2^{x-1}=6\]

\[2^{x-1}=2\]

\[x-1=1\]

\[x=2\]

Ответ: \(x=2\).

Решим неравенство \(7^{x^2-2x-8}\ge1\). Так как основание \(7>1\), сравниваем показатели:

\[x^2-2x-8\ge0\]

\[(x-4)(x+2)\ge0\]

Ответ: \(x\le-2\) или \(x\ge4\).

Для второго неравенства, если оно записано так: \(5^x\cdot2^{1-x}+5^{x+1}\cdot2^{-x}>7\cdot(0{,}4)^{-\frac{3}{x}}\), получаем:

\[2\left(\frac52\right)^x+5\left(\frac52\right)^x>7\left(\frac52\right)^{\frac3x}\]

\[7\left(\frac52\right)^x>7\left(\frac52\right)^{\frac3x}\]

Так как \(\frac52>1\), сравниваем показатели:

\[x>\frac3x\]

\[\frac{x^2-3}{x}>0\]

Ответ: \(x\in(-\sqrt3;0)\cup(\sqrt3;+\infty)\).

0 0 Пожаловаться