исследовать свойства функции и построить график у=х^4-14х^2+24х-3

Исследуем функцию \(y = x^4 - 14x^2 + 24x - 3\).

1. Область определения: \(D(y) = \mathbb{R}\).

2. Чётность/нечётность: \(y(-x) = x^4 - 14x^2 - 24x - 3 \neq \pm y(x)\), функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями: с осью Oy: \(x=0, y=-3\). С осью Ox: решаем \(x^4 - 14x^2 + 24x - 3 = 0\). Уравнение имеет два действительных корня (приближённо \(x_1 \approx -4.5\), \(x_2 \approx 0.4\)).

4. Первая производная и экстремумы: \(y' = 4x^3 - 28x + 24 = 4(x-1)(x-2)(x+3)\). Критические точки: \(x = -3, 1, 2\).

• При \(x \in (-\infty, -3)\): \(y' < 0\), функция убывает.
• При \(x \in (-3, 1)\): \(y' > 0\), функция возрастает.
• При \(x \in (1, 2)\): \(y' < 0\), функция убывает.
• При \(x \in (2, +\infty)\): \(y' > 0\), функция возрастает.

Экстремумы: \(x = -3\) — точка минимума, \(y(-3) = -120\); \(x = 1\) — точка максимума, \(y(1) = 8\); \(x = 2\) — точка минимума, \(y(2) = 5\).

5. Вторая производная и точки перегиба: \(y'' = 12x^2 - 28 = 4(3x^2 - 7)\). \(y'' = 0\) при \(x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}} \approx \pm 1.53\).

• При \(|x| > \sqrt{7/3}\): \(y'' > 0\), график выпуклый вниз.
• При \(|x| < \sqrt{7/3}\): \(y'' < 0\), график выпуклый вверх.

Точки перегиба: \((-1.53; -67)\) и \((1.53; 6.4)\) (приближённо).

6. Асимптоты: отсутствуют.

7. График: Кривая приходит из \(+\infty\) слева, опускается до глубокого минимума в точке \((-3, -120)\), затем поднимается до максимума \((1, 8)\), снова опускается до минимума \((2, 5)\) и уходит в \(+\infty\). Пересекает ось Oy в \((0, -3)\), ось Ox — в двух точках (примерно \(-4.5\) и \(0.4\)). Имеет две точки перегиба, меняя направление выпуклости.

0 0 Пожаловаться