"Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых в два
раза меньше их произведения"
Помогите решить, пожалуйста. Методом тыка нашёл две пары - 4,4;6,3, а как объяснить алгоритм, не знаю. ​

Условие: \(x + y = \frac{xy}{2}\). Умножим на 2: \(2x + 2y = xy\). Перенесём всё в одну сторону: \(xy - 2x - 2y = 0\). Добавим 4 к обеим частям, чтобы разложить на множители: \(xy - 2x - 2y + 4 = 4\), то есть \((x-2)(y-2) = 4\).

Так как \(x\) и \(y\) натуральные, \(x-2\) и \(y-2\) — целые числа. Произведение равно 4. Рассмотрим все целые делители 4: 1 и 4, 2 и 2, 4 и 1, а также отрицательные. Отрицательные дают \(x\) или \(y\) меньше 1, что не подходит. Поэтому:

• \(x-2 = 1\), \(y-2 = 4\) → \(x=3\), \(y=6\);
• \(x-2 = 2\), \(y-2 = 2\) → \(x=4\), \(y=4\);
• \(x-2 = 4\), \(y-2 = 1\) → \(x=6\), \(y=3\).

Ответ: пары (3;6), (4;4), (6;3).

0 0 Пожаловаться