Дано: (x⁴ - x² + 1)⁶ - (3x⁴ - 2x² + 1)².
а) степень многочлена;
б) старший коэффициент и свободный член;
в) сумма коэффициентов многочлена;
г) сумма коэффициентов при чётных степенях.
(С решением)

а) Степень многочлена: \(24\).
б) Старший коэффициент: \(1\), свободный член: \(0\).
в) Сумма коэффициентов: \(-3\).
г) Сумма коэффициентов при чётных степенях: \(-3\).

Решение:

Рассмотрим \(P(x) = (x^4 - x^2 + 1)^6 - (3x^4 - 2x^2 + 1)^2\).

Степень первого слагаемого \(6 \cdot 4 = 24\), второго — \(2 \cdot 4 = 8\). Старший член первого слагаемого \(x^{24}\), второго — \(9x^8\), поэтому степень \(P(x)\) равна \(24\), старший коэффициент \(1\).

Свободный член: \(P(0) = (0-0+1)^6 - (0-0+1)^2 = 1 - 1 = 0\).

Сумма коэффициентов: \(P(1) = (1-1+1)^6 - (3-2+1)^2 = 1 - 4 = -3\).

Заметим, что \(P(x)\) — чётная функция, так как все степени \(x\) чётные. Поэтому коэффициенты при нечётных степенях равны нулю, и сумма коэффициентов при чётных степенях равна сумме всех коэффициентов: \(-3\).

0 0 Пожаловаться