Машина выезжает из А в B и, доехав до В, тут же возвращается обратно. Через 1 час машина была на расстоянии 80 км от В, а через ещё 3 часа - в 80 км от А. Известно, что на весь путь туда и обратно машина затратила менее 9 ч. найдите расстояние от А до В.

Задача состоит в том, чтобы найти расстояние между точками А и В, если машина выехала из А в В и затем вернулась обратно, а также даны некоторые параметры о времени и расстояниях на пути. Рассмотрим шаги решения:

Обозначения:

• Пусть $d$ — расстояние между точками A и B.
• Пусть $v$ — средняя скорость машины на пути.

Разбор информации из условия задачи:

1. Через 1 час машина была на расстоянии 80 км от В. Это означает, что в 1-й час машина преодолела какое-то расстояние от точки В. После этого она была на расстоянии 80 км от В, значит, она проехала на расстояние $d - 80$ км (путь до точки, в которой она находится).

2. Через ещё 3 часа она была на расстоянии 80 км от A. Через 4 часа (1 час + 3 часа) после начала движения машина была на расстоянии 80 км от точки A. Это говорит о том, что она прошла $d - 80$ км от B, и теперь на пути обратно, до точки A.

3. На весь путь туда и обратно машина затратила менее 9 часов. Время на весь путь туда и обратно меньше 9 часов. То есть суммарное время на дорогу туда и обратно $T_{\text{total}} = T_{\text{туда}} + T_{\text{обратно}} < 9$.

Решение:

Предположим, что машина движется с постоянной скоростью $v$.

1. На пути от A в B: Расстояние между A и B — $d$. Время на этот путь можно выразить как $t_{\text{туда}} = \frac{d}{v}$.

2. На пути от B в A: После того как машина достигла точки B, она возвращается обратно в точку A, преодолевая также расстояние $d$, за время $t_{\text{обратно}} = \frac{d}{v}$.

Таким образом, общее время, которое машина тратит на путь туда и обратно, равно $T_{\text{total}} = \frac{2d}{v}$.

3. Используя информацию о 1 часе и 4 часах: Когда машина через 1 час находится на расстоянии 80 км от B, это значит, что она проехала $d - 80$ км за 1 час, то есть скорость машины равна $\frac{d - 80}{1} = d - 80$. Таким образом, можно найти скорость машины как $v = d - 80$.

4. Используя ограничение на время пути: Из условия задачи известно, что время на весь путь меньше 9 часов. Таким образом:

   $$\frac{2d}{v} < 9.$$

   Подставим $v = d - 80$ в это неравенство:

   $$\frac{2d}{d - 80} < 9.$$

   Умножим обе части неравенства на $d - 80$ (при условии, что $d > 80$):

   $$2d < 9(d - 80).$$

   Раскроем скобки:

   $$2d < 9d - 720.$$

   Переносим все члены с $d$ в одну сторону:

   $$720 < 7d.$$

   Разделим обе части на 7:

   $$d > \frac{720}{7} \approx 102,86.$$

   Таким образом, минимальное возможное расстояние между точками A и B — примерно 103 км.

Ответ:

Расстояние от точки A до точки B составляет более 103 км.