Помогите, пожалуйста с уравнением по алгебре
1-tgx/1+tgx=(sinx-cosx)^2

Если имеется в виду уравнение

\[\frac{1-\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}x}=(\sin x-\cos x)^2,\]

то сначала учтём область допустимых значений: \(\cos x \ne 0\), \(1+\operatorname{tg}x \ne 0\).

Преобразуем левую часть:

\[\frac{1-\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}x}=\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}.\]

Правая часть:

\[(\sin x-\cos x)^2=(\cos x-\sin x)^2.\]

Получаем:

\[\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}=(\cos x-\sin x)^2.\]

Обозначим \(a=\cos x-\sin x\). Тогда возможны два случая.

• \(\cos x-\sin x=0\), значит \(\operatorname{tg}x=1\), откуда \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\).
• После сокращения получается \((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=1\), то есть \(\cos 2x=1\), откуда \(x=\pi k\).

Ответ:

\[x=\pi k\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.\]

0 0 Пожаловаться