1-tgx = (sinx-cosx)^2

Для решения уравнения $1 - \tan(x) = (\sin(x) - \cos(x))^2$ проведем подробный разбор:

Шаг 1: Преобразуем правую часть уравнения

Раскроем квадрат разности в правой части:

Используем тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

Таким образом, уравнение принимает вид:

Шаг 2: Упрощение уравнения

Сократим единицы с обеих сторон:

Умножим обе стороны на $-1$:

Шаг 3: Замена произведения $\sin(x)\cos(x)$

Используем тригонометрическое тождество:

Теперь уравнение принимает вид:

Шаг 4: Выражаем $\tan(x)$ через $\sin(x)$ и $\cos(x)$

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, поэтому уравнение становится:

Шаг 5: Раскрытие $\sin(2x)$

Используем формулу для двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Тогда:

Шаг 6: Упрощение уравнения

Умножим обе стороны на $\cos(x)$ (при условии, что $\cos(x) \neq 0$):

Вынесем $\sin(x)$ за скобки:

Шаг 7: Решение уравнения

Уравнение распадается на два множителя:

1. $\sin(x) = 0$;
2. $1 - 2\cos^2(x) = 0$.

Решение первой части ($\sin(x) = 0$):

$\sin(x) = 0$ при:

Решение второй части ($1 - 2\cos^2(x) = 0$):

Преобразуем уравнение:

$\cos^2(x) = \frac{1}{2}$ дает:

Соответствующие значения $x$ (учитывая периодичность косинуса):

Итоговое решение

Объединяя оба результата, общий ответ: