Расстояние между пристанями А и В равно 126 км, из А в Б по течению рек
и отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая,
прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К тому времени плот прошел 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Для решения этой задачи обозначим переменные и разберем её пошагово.

Условные обозначения:

• Расстояние между пристанями $A$ и $B$: $L = 126 \, \text{км}$.
• Скорость течения реки: $v_{\text{теч}} = 4 \, \text{км/ч}$.
• Скорость лодки в неподвижной воде: $v_{\text{лодки}}$ (неизвестная, нужно найти).
• Скорость плота: $v_{\text{плота}} = v_{\text{теч}} = 4 \, \text{км/ч}$ (так как плот движется с той же скоростью, что и течение).
• Время до момента, когда плот прошел 36 км: $t_{\text{плота}} = \frac{36}{v_{\text{плота}}} = \frac{36}{4} = 9 \, \text{ч}$.

Анализ движения:

1. Плот начал движение из $A$ и за $9 \, \text{ч}$ прошел $36 \, \text{км}$.
2. Лодка вышла из $A$ через $1 \, \text{ч}$ после плота, то есть она начала движение через $1 \, \text{ч}$, когда плот прошел $4 \, \text{км}$ (это расстояние плота за $1 \, \text{ч}$).
3. Лодка двигалась по течению до $B$, затем обратно к $A$. Когда лодка вернулась в $A$, плот прошел $36 \, \text{км}$.

Пути лодки:

• Время лодки на движение $A \to B$: $t_{AB} = \frac{L}{v_{\text{лодки}} + v_{\text{теч}}}$.
• Время лодки на движение $B \to A$: $t_{BA} = \frac{L}{v_{\text{лодки}} - v_{\text{теч}}}$.

Общее время движения лодки $t_{\text{лодки}} = t_{AB} + t_{BA}$.

Важное соотношение:

Плот за это же время $t_{\text{лодки}}$ прошел $36 - 4 = 32 \, \text{км}$ (разница, так как лодка начала движение через $1 \, \text{ч}$).

Следовательно:

Таким образом, имеем уравнение для времени лодки:

Решение уравнения:

Подставим $L = 126$, $v_{\text{теч}} = 4$:

Приведем к общему знаменателю:

Упростим числитель:

Упростим знаменатель: