Расстояние между пристанями A и B равно 80 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Рассмотрим задачу поэтапно. Для начала обозначим основные данные:

• Расстояние между пристанями A и B равно 80 км.
• Плот проходит 24 км за время, пока яхта совершает полный путь (от A до B и обратно в A).
• Яхта отправляется через 2 часа после плота, прибывает в B, поворачивает и возвращается в A.
• Скорость течения реки — 3 км/ч.

Обозначим скорость яхты в неподвижной воде за $v$ км/ч.

1. Движение плота. Плот движется по течению со скоростью, равной скорости течения, то есть 3 км/ч. За все время, пока плот был в пути, он прошел 24 км. Значит, время движения плота составляет:

   $$t_{\text{плот}} = \frac{24}{3} = 8 \text{ часов}.$$

   Это время — полное время, за которое плот прошел 24 км, а яхта за это время успела дойти до B и вернуться обратно в A.

2. Время движения яхты. Яхта отправляется через 2 часа после плота, значит, на свое путешествие у нее осталось $8 - 2 = 6$ часов. За эти 6 часов яхта должна успеть пройти путь от A до B и обратно в A.

3. Скорость яхты относительно течения. Скорость яхты по течению будет $v + 3$ км/ч, а против течения — $v - 3$ км/ч.

4. Запишем уравнение для времени движения яхты. Время, за которое яхта проходит путь от A до B по течению:

   $$t_{\text{по течению}} = \frac{80}{v + 3}.$$

   Время, за которое яхта возвращается из B в A против течения:

   $$t_{\text{против течения}} = \frac{80}{v - 3}.$$

   Сумма этих времен должна равняться 6 часам, так как на весь путь у яхты 6 часов:

   $$\frac{80}{v + 3} + \frac{80}{v - 3} = 6.$$

5. Решим это уравнение. Приведем обе части уравнения к общему знаменателю:

   $$\frac{80(v - 3) + 80(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 6,$$ $$\frac{80v - 240 + 80v + 240}{v^2 - 9} = 6,$$ $$\frac{160v}{v^2 - 9} = 6.$$

   Умножим обе части уравнения на $v^2 - 9$:

   $$160v = 6(v^2 - 9),$$ $$160v = 6v^2 - 54.$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$6v^2 - 160v - 54 = 0.$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-160)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-54) = 25600 + 1296 = 26896,$$ $$v = \frac{-(-160) \pm \sqrt{26896}}{2 \cdot 6} = \frac{160 \pm 164}{12}.$$

   Рассчитаем корни:

   $$v_1 = \frac{160 + 164}{12} = \frac{324}{12} = 27,$$ $$v_2 = \frac{160 - 164}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}.$$

   Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем $v = 27$ км/ч.

6. Ответ: Скорость яхты в неподвижной воде равна 27 км/ч.