Расстояние между пристанями A и B равно 63 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 20 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч

Решим задачу, учитывая, что плот движется только за счет течения реки, а моторная лодка движется сначала по течению, а потом против него.

Дано:

• Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 63 км.
• Скорость течения реки $v_{\text{течения}} = 4$ км/ч.
• Плот отправляется из $A$ в $B$ и через час вслед за ним отправляется моторная лодка.
• К моменту возвращения лодки в $A$ плот успевает проплыть 20 км.

Обозначим:

• Скорость лодки в неподвижной воде — $v_{\text{лодки}}$ км/ч.

Решение:

1. Скорость плота: Плот движется со скоростью течения, так как он не имеет собственного двигателя. Следовательно, его скорость равна скорости течения:

   $$v_{\text{плота}} = 4 \text{ км/ч}.$$

2. Время движения плота: К моменту, когда лодка возвращается в $A$, плот проплыл 20 км. Зная скорость плота, можем найти время, прошедшее с момента отправления плота:

   $$t_{\text{общ}} = \frac{20 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 5 \text{ часов}.$$

   Это означает, что с момента отправления плота и до возвращения лодки прошло 5 часов.

3. Время движения лодки: Лодка отправилась через 1 час после плота, значит, она двигалась в течение:

   $$t_{\text{лодки}} = 5 - 1 = 4 \text{ часа}.$$

4. Расчёт пути лодки по течению и против течения: Лодка сначала движется по течению из $A$ в $B$, затем против течения из $B$ в $A$. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $v_{\text{лодки}}$. Тогда:

   • Скорость лодки по течению реки: $v_{\text{лодки}} + 4$ км/ч.
   • Скорость лодки против течения реки: $v_{\text{лодки}} - 4$ км/ч.

   Обозначим время движения лодки из $A$ в $B$ за $t_1$, а время движения обратно из $B$ в $A$ за $t_2$.

   Тогда:

   $$t_1 = \frac{63}{v_{\text{лодки}} + 4} \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{63}{v_{\text{лодки}} - 4}.$$

   Суммарное время движения лодки туда и обратно составляет 4 часа:

   $$t_1 + t_2 = 4.$$

5. Составим уравнение: Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

   $$\frac{63}{v_{\text{лодки}} + 4} + \frac{63}{v_{\text{лодки}} - 4} = 4.$$

6. Решим уравнение: Умножим обе части на $(v_{\text{лодки}} + 4)(v_{\text{лодки}} - 4)$ для избавления от знаменателей:

   $$63(v_{\text{лодки}} - 4) + 63(v_{\text{лодки}} + 4) = 4(v_{\text{лодки}}^2 - 16).$$

   Раскроем скобки:

   $$63v_{\text{лодки}} - 252 + 63v_{\text{лодки}} + 252 = 4v_{\text{лодки}}^2 - 64.$$

   Приведем подобные слагаемые:

   $$126v_{\text{лодки}} = 4v_{\text{лодки}}^2 - 64.$$

   Перенесем все в одну сторону уравнения:

   $$4v_{\text{лодки}}^2 - 126v_{\text{лодки}} - 64 = 0.$$

   Разделим уравнение на 2:

   $$2v_{\text{лодки}}^2 - 63v_{\text{лодки}} - 32 = 0.$$

   Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-63)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-32) = 3969 + 256 = 4225.$$ $$v_{\text{лодки}} = \frac{63 \pm \sqrt{4225}}{2 \cdot 2}.$$