Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 35, а сумма второго и третьего равна 30. Известно, что прогрессия возрастающая.

Давайте разберёмся шаг за шагом.

Пусть геометрическая прогрессия задаётся первым членом $a_1 = a$ и знаменателем $r$ ($r > 1$, так как прогрессия возрастающая). Тогда:

• Первый член: $a_1 = a$

• Второй член: $a_2 = a r$

• Третий член: $a_3 = a r^2$

• Четвёртый член: $a_4 = a r^3$

Нам даны условия:

1. $a_1 + a_4 = a + a r^3 = 35$

2. $a_2 + a_3 = a r + a r^2 = 30$

Вынесем $a$ за скобки:

1. $a(1 + r^3) = 35$ → $a = \frac{35}{1 + r^3}$

2. $a(r + r^2) = 30$ → $a = \frac{30}{r + r^2} = \frac{30}{r(1 + r)}$

Приравняем два выражения для $a$:

Заметим, что $1 + r^3$ раскладывается как $(1 + r)(1 - r + r^2)$. Подставим:

Сократим $(1 + r)$ (оно не равно нулю, так как $r > 1$):

Перемножим крест-накрест:

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Разделим на 5 для упрощения:

Решим квадратное уравнение:

Получаем два варианта:

1. $r = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$