При каких натуральных значениях `n` значение выражения $$\left(\frac{4n}{\left(n+1\right)!}-\frac{2}{n!}\right):\left(\frac{3}{n!}-\frac{2n}{\left(n+1\right)!}\right)$$ является целым числом?Указание: $$n!=1·2·3...n$$ $$3!=1·2·3=6$$

Используем равенство

Преобразуем числитель выражения:

Тогда

Теперь преобразуем знаменатель:

Следовательно,

Исходное выражение принимает вид

Преобразуем полученную дробь:

Это число будет целым тогда и только тогда, когда дробь

является целым числом. Значит, $n+3$ должно быть положительным делителем числа $8$.

Поскольку $n$ — натуральное число, $n+3\geqslant 4$. Подходящие делители числа $8$:

Отсюда

Проверка:

Оба значения являются целыми числами.