Функция y=x^2 обратима ?

Функция $y = x^2$ не является обратимой на всей области определения, но может быть сделана обратимой на отдельных интервалах. Объясню подробнее:

1. Что значит "обратимая функция"?

Функция $f(x)$ называется обратимой, если для неё можно найти обратную функцию $f^{-1}(x)$, такую что:

Это возможно, только если функция $f(x)$ является биективной:

• Инъективность: Каждое значение $y$ достигается только одним значением $x$.
• Сюръективность: Функция покрывает всю область значений $y$ (область значений совпадает с областью определения обратной функции).

2. Проверка функции $y = x^2$:

• Область определения: $x \in (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: $y \in [0, +\infty)$ (квадрат любого числа неотрицателен).

2.1 Инъективность:

Функция $y = x^2$ не инъективна на всей области определения, так как одно и то же значение $y$ может быть получено разными значениями $x$. Например:

Поскольку одно и то же значение $y$ соответствует разным значениям $x$, функция не удовлетворяет требованию инъективности.

2.2 Сюръективность:

Функция $y = x^2$ определена только на $y \geq 0$, то есть она покрывает всю область значений $[0, +\infty)$. Таким образом, она сюръективна на $[0, +\infty)$.

3. Как сделать $y = x^2$ обратимой?

Чтобы функция стала обратимой, нужно ограничить её область определения так, чтобы она стала инъективной. Обычно это делают, рассматривая только одну ветвь параболы:

• Если ограничить область определения до $x \geq 0$ (правая ветвь), то $y = x^2$ становится строго возрастающей и, следовательно, инъективной.
• Если ограничить область определения до $x \leq 0$ (левая ветвь), то функция также будет инъективной.

Обратная функция для $y = x^2$:

На области определения $x \geq 0$ обратная функция выражается как:

На области $x \leq 0$, обратная функция будет:

4. Вывод:

Функция $y = x^2$ не обратима на всей области определения, так как она не является инъективной. Однако её можно сделать обратимой, если ограничить область определения до $x \geq 0$ или $x \leq 0$. Тогда обратная функция будет $x = \pm\sqrt{y}$, в зависимости от выбранного ограничения.