Найти точку максимума функции y = (x+8)² · e^(17-x).

Рассмотрим функцию
$y = (x+8)^2 \cdot e^{17-x}$.

Область определения — все действительные числа.

Найдём производную. Удобно использовать логарифмическое дифференцирование:

(точка $x=-8$ не даёт максимум, так как $y=0$).

Дифференцируем:

Приравниваем к нулю:

Теперь проверим характер точки. Знак производной:

• при $x < -6$: $\frac{2}{x+8} > 1 \Rightarrow y' > 0$

• при $x > -6$: $\frac{2}{x+8} < 1 \Rightarrow y' < 0$

Значит, функция возрастает до $x=-6$ и убывает после него — это точка максимума.

Найдём значение функции:

Ответ: точка максимума достигается при $x = -6$, максимальное значение $y_{\max} = 4e^{23}$.