Дискриминант приведённого квадратного трёхчлена p(x) положителен. Сколько корней может иметь уравнение p(x) + p(x + √D) = 0?

Пусть
$p(x)=x^2+bx+c$, так как это приведённый квадратный трёхчлен.

Его дискриминант:

Значит, у $p(x)$ есть два различных действительных корня.

Обозначим $t=\sqrt{D}$. Рассмотрим уравнение:

Раскроем:

Складываем:

Получаем квадратное уравнение. Найдём его дискриминант:

Упростим:

Но $b^2-4c = D$, а $t^2=D$. Тогда:

Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один действительный корень (двукратный).

Ответ: 1 корень.