Внутри круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри

Ответы на вопрос

Отвечает Зиятбеков Мади.

Задача состоит в том, чтобы найти вероятность того, что случайно брошенная точка внутри круга радиуса $R$ окажется внутри вписанного в этот круг квадрата.

Шаг 1. Определим размеры круга и квадрата

Рассмотрим круг радиуса $R$ , который центрирован в начале координат. Вписанный квадрат — это квадрат, который касается окружности в четырёх точках (в середине каждой стороны квадрата).

Площадь круга $A_{\text{круга}}$ вычисляется по формуле:

A_{\text{круга}} = \pi R^2

Теперь определим площадь вписанного квадрата. Сначала вычислим сторону квадрата. Из геометрии известно, что диагональ вписанного квадрата совпадает с диаметром окружности. Диагональ квадрата равна $2R$ , и, используя теорему Пифагора, можно выразить сторону квадрата через диагональ. Если сторона квадрата равна $a$ , то её диагональ равна $a\sqrt{2}$ , и:

a\sqrt{2} = 2R

Следовательно, сторона квадрата $a$ равна:

a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}

Площадь квадрата $A_{\text{квадрата}}$ равна квадрату его стороны:

A_{\text{квадрата}} = a^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2

Шаг 2. Вероятность попадания точки в квадрат

Предположим, что точка бросается случайным образом внутри круга. Согласно условию задачи, вероятность того, что точка попадёт в какую-то область круга, пропорциональна площади этой области.

Таким образом, вероятность того, что точка окажется внутри квадрата, равна отношению площади квадрата к площади круга:

P = \frac{A_{\text{квадрата}}}{A_{\text{круга}}} = \frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi}

Ответ:

Вероятность того, что случайно брошенная точка окажется внутри вписанного квадрата, равна $\frac{2}{\pi}$ .

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра