Моторная лодка за 20 часов проплыла 91 км против течения и вернулась обратно. Найди скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Скорость моторной лодки в стоячей воде равна
км/ч.

Для решения этой задачи обозначим скорость моторной лодки в стоячей воде за $v$ км/ч. Нам известно, что скорость течения реки равна $3$ км/ч.

Когда лодка движется против течения, её скорость относительно берега равна $v - 3$ км/ч, а когда она движется по течению, её скорость относительно берега равна $v + 3$ км/ч.

Лодка затратила $20$ часов на весь путь, который включает движение 91 км против течения и столько же по течению. Запишем уравнение для времени:

Время для каждого участка пути выражается через формулу $\text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$. Таким образом:

Решим это уравнение.

1. Приведём дроби к общему знаменателю:

2. Упростим числитель:

3. Подставим упрощённый числитель:

4. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(v - 3)(v + 3)$, чтобы избавиться от дроби:

5. Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть уравнения:

6. Разделим уравнение на 2 для упрощения:

7. Решим квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта:

где $a = 10$, $b = -91$, $c = -90$.

8. Найдём корни уравнения по формуле:

9. Рассчитаем значения:

Отрицательное значение скорости $v = -0.9$ не имеет физического смысла, поэтому:

Ответ:

Скорость моторной лодки в стоячей воде равна 10 км/ч.