Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Поясните свой ответ на примерах.

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, сначала нужно привести их к общему знаменателю. Складывать или вычитать можно только числители дробей с одинаковыми знаменателями.

Порядок действий такой:

1. Найти общий знаменатель дробей. Обычно выбирают наименьшее общее кратное знаменателей.

2. Определить дополнительные множители для каждой дроби.

3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

4. Сложить или вычесть полученные числители, а общий знаменатель оставить без изменения.

5. Если возможно, сократить результат.

Рассмотрим пример сложения:

[
\frac{2}{3}+\frac{1}{4}
]

Знаменатели дробей — 3 и 4. Их наименьший общий знаменатель равен 12.

Чтобы получить знаменатель 12, первую дробь нужно умножить на 4, а вторую — на 3:

[
\frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}
]

[
\frac{1}{4}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}=\frac{3}{12}
]

Теперь знаменатели одинаковые, поэтому складываем числители:

[
\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}
]

Ответ:

[
\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}
]

Рассмотрим пример вычитания:

[
\frac{5}{6}-\frac{1}{4}
]

Наименьший общий знаменатель чисел 6 и 4 равен 12.

Первую дробь умножаем на 2:

[
\frac{5}{6}=\frac{5\cdot2}{6\cdot2}=\frac{10}{12}
]

Вторую дробь умножаем на 3:

[
\frac{1}{4}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}=\frac{3}{12}
]

Вычитаем числители:

[
\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}
]

Ответ:

[
\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{7}{12}
]

Иногда один знаменатель делится на другой. Например:

[
\frac{3}{5}+\frac{1}{10}
]

Общий знаменатель равен 10. Первую дробь приводим к знаменателю 10:

[
\frac{3}{5}=\frac{3\cdot2}{5\cdot2}=\frac{6}{10}
]

Теперь складываем:

[
\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{7}{10}
]

Рассмотрим пример, в котором результат нужно сократить:

[
\frac{1}{6}+\frac{1}{3}
]

Общий знаменатель равен 6:

[
\frac{1}{3}=\frac{2}{6}
]

Следовательно:

[
\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3}{6}
]

Дробь (\frac{3}{6}) можно сократить на 3:

[
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
]

Ответ:

[
\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}
]

При сложении или вычитании смешанных чисел можно сначала превратить их в неправильные дроби. Например:

[
1\frac{1}{2}+2\frac{1}{3}
]

Преобразуем смешанные числа:

[
1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
]

[
2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}
]

Общий знаменатель равен 6:

[
\frac{3}{2}=\frac{9}{6}, \qquad \frac{7}{3}=\frac{14}{6}
]

Складываем:

[
\frac{9}{6}+\frac{14}{6}=\frac{23}{6}
]

Выделяем целую часть:

[
\frac{23}{6}=3\frac{5}{6}
]

Ответ:

[
1\frac{1}{2}+2\frac{1}{3}=3\frac{5}{6}
]

Таким образом, главное правило состоит в том, что перед сложением или вычитанием дробей с разными знаменателями их обязательно приводят к общему знаменателю. После этого выполняют действие с числителями, а знаменатель оставляют общим.