А) Докажите, что многочлен F(x)=x^n-a^n (n∈N) делится на
многочлен (x-a), и найдите частное от деления.

Давайте рассмотрим многочлен $F(x) = x^n - a^n$, где $n \in \mathbb{N}$. Задача состоит в том, чтобы доказать, что этот многочлен делится на $(x - a)$, а также найти частное от деления.

1. Проверка, что многочлен делится на $(x - a)$

Для того чтобы доказать, что $F(x) = x^n - a^n$ делится на $(x - a)$, используем теорему о делении многочлена.

Теорема: Если многочлен $P(x)$ делится на $(x - c)$, то $P(c) = 0$.

Применим это к нашему многочлену $F(x) = x^n - a^n$. Подставим $x = a$ в $F(x)$:

Поскольку $F(a) = 0$, это значит, что многочлен $F(x)$ действительно делится на $(x - a)$.

2. Нахождение частного от деления

Теперь давайте найдем частное от деления $F(x)$ на $(x - a)$. Для этого можно использовать теорему о разложении многочлена на множители. Мы можем представить $F(x) = x^n - a^n$ как разность степеней и воспользоваться известной формулой для разложения разности степеней:

Таким образом, частное от деления многочлена $F(x) = x^n - a^n$ на $(x - a)$ будет многочленом:

Ответ:

• Многочлен $F(x) = x^n - a^n$ делится на $(x - a)$, поскольку $F(a) = 0$.
• Частное от деления будет $Q(x) = x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-1}$.