5. Катер проходит по течению реки 34 км за то же время, что и 26 км против течения реки. Известно, что собственная скорость катера на 13 км/ч больше скорости течения реки. Найдите скорость течения реки

Для решения задачи будем использовать обозначения и систему уравнений.

Пусть:

• $v$ — скорость течения реки (км/ч).
• $v_{\text{кат}}$ — собственная скорость катера (км/ч).

Из условия задачи известно, что:

1. Собственная скорость катера на 13 км/ч больше скорости течения, то есть:

   $$v_{\text{кат}} = v + 13$$

2. Катер проходит 34 км по течению и 26 км против течения за одно и то же время.

Теперь запишем выражения для времени, которое катер тратит на эти два пути:

• Время, которое катер тратит на путь по течению (34 км):

  $$t_{\text{по течению}} = \frac{34}{v_{\text{кат}} + v} = \frac{34}{(v + 13) + v} = \frac{34}{2v + 13}$$

• Время, которое катер тратит на путь против течения (26 км):

  $$t_{\text{против течения}} = \frac{26}{v_{\text{кат}} - v} = \frac{26}{(v + 13) - v} = \frac{26}{13}$$

  Время против течения равно $\frac{26}{13} = 2$ часа.

Поскольку время на оба пути одинаково, можем приравнять времена:

Теперь решим это уравнение:

1. Умножим обе части на $2v + 13$, чтобы избавиться от дроби:

   $$34 = 2(2v + 13)$$

2. Раскроем скобки:

   $$34 = 4v + 26$$

3. Переносим 26 в левую часть уравнения:

   $$34 - 26 = 4v$$ $$8 = 4v$$

4. Разделим обе части на 4:

   $$v = 2$$

Таким образом, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Проверим решение:

• Собственная скорость катера $v_{\text{кат}} = 2 + 13 = 15$ км/ч.
• Время по течению: $\frac{34}{2 \cdot 2 + 13} = \frac{34}{17} = 2$ часа.
• Время против течения: $\frac{26}{13} = 2$ часа.

Так как времена совпадают, решение верное. Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.