Докажите, что при любом нечётном n значение многочлена n³ - n делится на 24.

Рассмотрим выражение:

Вынесем $n$ за скобки:

То есть произведение трёх последовательных целых чисел:

Нужно доказать, что это произведение делится на $24=3\cdot 8$.

1. Делимость на 3

Среди любых трёх последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Поэтому среди чисел $n-1$, $n$, $n+1$ есть число, кратное 3.

Следовательно,

делится на 3.

2. Делимость на 8

Так как $n$ нечётное, числа $n-1$ и $n+1$ являются чётными. Более того, это два соседних чётных числа.

Одно из двух соседних чётных чисел обязательно делится на 4. Действительно, среди двух чисел с разницей 2 одно имеет вид $4k$, а другое — $4k+2$.

Значит, в произведении

одно из чисел даёт множитель 4, а другое, будучи чётным, даёт ещё один множитель 2. Поэтому

делится на

Следовательно,

также делится на 8.

3. Объединяем результаты

Мы доказали, что число

делится и на 3, и на 8. Так как числа 3 и 8 взаимно просты, оно делится на их произведение:

Следовательно, при любом нечётном целом $n$

что и требовалось доказать.