Докажите что при любом значение p уравнение x^2+px+p-4=0 имеет два корня

Для того чтобы доказать, что уравнение $x^2 + px + p - 4 = 0$ имеет два корня при любом значении параметра $p$, нужно исследовать его дискриминант.

Уравнение имеет вид:

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где:

• $a = 1$,
• $b = p$,
• $c = p - 4$.

Шаг 1: Запишем дискриминант

Для квадратного уравнения дискриминант ($D$) вычисляется по формуле:

Подставляем значения $a = 1$, $b = p$ и $c = p - 4$:

Упростим выражение:

Шаг 2: Исследуем дискриминант

Теперь мы видим, что дискриминант уравнения равен:

Чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть неотрицательным (поскольку для двух действительных корней дискриминант должен быть больше или равен нулю). Проверим, что дискриминант всегда больше или равен нулю для любого $p$.

Шаг 3: Анализируем дискриминант

Рассмотрим дискриминант как квадратичную функцию от $p$:

Эта функция является параболой, открывающейся вверх (так как коэффициент при $p^2$ положительный). Найдем её вершину. Вершина квадратичной функции $ax^2 + bx + c$ находится в точке $p = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции:

Теперь вычислим значение дискриминанта в этой точке:

Поскольку значение дискриминанта при $p = 2$ равно 12, и это значение положительное, то парабола всегда лежит выше оси $p$. Следовательно, дискриминант $D(p)$ всегда положителен для всех значений $p$.

Шаг 4: Заключение

Поскольку дискриминант уравнения $D = p^2 - 4p + 16$ всегда больше или равен нулю для любого значения $p$, то уравнение $x^2 + px + (p - 4) = 0$ всегда имеет два действительных корня.

Таким образом, уравнение всегда имеет два корня при любом $p$.