На какое натуральное число делится выражение p(p-12)-(p+3)(p-4)-1 при любом натуральном p?

Рассмотрим выражение $p(p - 12) - (p + 3)(p - 4) - 1$ и определим, на какое натуральное число оно делится при любом натуральном $p$.

Шаг 1: Раскроем скобки и упростим выражение

Раскроем каждую из двух частей в выражении:

1. $p(p - 12) = p^2 - 12p$
2. $(p + 3)(p - 4) = p^2 - 4p + 3p - 12 = p^2 - p - 12$

Теперь подставим это в исходное выражение:

Шаг 2: Упростим выражение

Раскроем скобки и соберем подобные слагаемые:

$p^2 - p^2 = 0$, остаётся:

Упростим:

Итак, выражение упрощается до:

Шаг 3: Анализируем делимость

Мы видим, что выражение $-11(p - 1)$ имеет общий множитель $11$ при любом натуральном $p$. Это означает, что выражение всегда делится на $11$.

Ответ:

Выражение $p(p - 12) - (p + 3)(p - 4) - 1$ делится на $11$ при любом натуральном $p$.