Розставте на шахматной доске как можно больше ладей так чтобы они не били друг друга ,докажите что больше поставить действительно нельзя​

Для шахматной доски размером $8 \times 8$, задача расстановки ладей так, чтобы они не били друг друга, является классической задачей в комбинаторике и шахматной теории.

Решение:

Ладья атакует все клетки по вертикали и горизонтали от своей позиции. Чтобы ладьи не били друг друга, каждая из них должна занимать уникальную строку и уникальный столбец. Следовательно, максимальное количество ладей, которые можно разместить на доске, равно количеству строк или столбцов доски, то есть 8.

Пример расстановки:

1. Поставьте первую ладью в клетку $a1$ (первый ряд, первый столбец).
2. Вторую ладью поставьте в $b2$ (второй ряд, второй столбец).
3. Третью ладью в $c3$, и так далее до $h8$.

Получится следующая расстановка:

Л . . . . . . .
. Л . . . . . .
. . Л . . . . .
. . . Л . . . .
. . . . Л . . .
. . . . . Л . .
. . . . . . Л .
. . . . . . . Л

В этой расстановке каждая ладья занимает уникальный ряд и уникальный столбец, поэтому они не могут бить друг друга.

Почему больше 8 ладей нельзя?

1. На доске всего 8 строк и 8 столбцов.
2. Если мы попытаемся добавить девятую ладью, она обязательно окажется либо в строке, либо в столбце, где уже стоит другая ладья.
3. В этом случае хотя бы две ладьи будут находиться в одном ряду или столбце, что нарушает условие задачи.

Доказательство оптимальности:

Максимальное количество непересекающихся строк и столбцов на доске размером $N \times N$ равно $N$. Каждая ладья занимает одну строку и один столбец, поэтому максимально возможное количество ладей равно $N = 8$.

Таким образом, на доске $8 \times 8$ можно разместить ровно 8 ладей так, чтобы они не били друг друга, и увеличить это число невозможно.