Какую наибольшую площадь может иметь плоский треугольник, ограниченный осью Ох, прямой х=3 и касательной к графику функции у = х² в точке с абсциссой х₀, если 0 < х₀ < 6?

Пусть абсцисса точки касания равна \(x_0\). Касательная к графику \(y=x^2\) имеет вид:

\[y=2x_0x-x_0^2.\]

Она пересекает ось \(Ox\) в точке \(x=\frac{x_0}{2}\). Площадь треугольника:

\[S=\frac12\left(3-\frac{x_0}{2}\right)(6x_0-x_0^2)=\frac{x_0(6-x_0)^2}{4}.\]

Наибольшее значение получается при \(x_0=2\):

\[S_{\max}=\frac{2\cdot 4^2}{4}=8.\]

Ответ: \(8\).

0 0 Пожаловаться