Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) sin 9п/8 и cos 9п/8; 2) sin п/8 и cos 3п/10

Задание 1: Сравнение $\sin \left( \frac{9\pi}{8} \right)$ и $\cos \left( \frac{9\pi}{8} \right)$

Для начала, выразим $\cos \left( \frac{9\pi}{8} \right)$ через синус, используя формулы приведения.

• Угловая мера $\frac{9\pi}{8}$ находится в третьей четверти (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$), где синус отрицателен, а косинус также отрицателен.
• В третьей четверти можно применить следующие формулы приведения: $$\cos \left( \frac{9\pi}{8} \right) = -\cos \left( \frac{9\pi}{8} - \pi \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$$ то есть, $\cos \left( \frac{9\pi}{8} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$.

Теперь, сравним $\sin \left( \frac{9\pi}{8} \right)$ и $\cos \left( \frac{9\pi}{8} \right)$:

• Сначала вычислим $\sin \left( \frac{9\pi}{8} \right)$:

  $$\sin \left( \frac{9\pi}{8} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{8} \right)$$

  (так как в третьей четверти синус также отрицателен).

• Итак, у нас:

  $$\sin \left( \frac{9\pi}{8} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{8} \right), \quad \cos \left( \frac{9\pi}{8} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$$

Теперь можно сравнить $\sin \left( \frac{9\pi}{8} \right)$ и $\cos \left( \frac{9\pi}{8} \right)$:

• Поскольку $\sin \left( \frac{\pi}{8} \right)$ и $\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$ — положительные числа (так как $\frac{\pi}{8}$ лежит в первой четверти), мы знаем, что: $$\sin \left( \frac{\pi}{8} \right) < \cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$$ следовательно, $-\sin \left( \frac{\pi}{8} \right) > -\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$.

Таким образом, мы получаем, что:

Задание 2: Сравнение $\sin \left( \frac{\pi}{8} \right)$ и $\cos \left( \frac{3\pi}{10} \right)$

Теперь давайте сравним $\sin \left( \frac{\pi}{8} \right)$ и $\cos \left( \frac{3\pi}{10} \right)$.

Для удобства рассчитаем приближённые значения этих выражений:

• $\sin \left( \frac{\pi}{8} \right)$ — это синус угла $\frac{\pi}{8} \approx 22.5^\circ$