Решите неравенство (x+3)(x-7)<0

Для решения неравенства $(x+3)(x-7) < 0$ необходимо найти, при каких значениях $x$ произведение выражений $(x+3)$ и $(x-7)$ отрицательно.

Шаг 1: Определим нули выражений

Произведение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

1. $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$,
2. $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$.

Эти точки ($x = -3$ и $x = 7$) делят числовую прямую на три промежутка:

• $(-\infty, -3)$,
• $(-3, 7)$,
• $(7, +\infty)$.

Шаг 2: Исследуем знаки на каждом промежутке

Теперь исследуем, знак произведения $(x + 3)(x - 7)$ на каждом из этих промежутков. Для этого подставим произвольные значения $x$ из каждого промежутка и определим знак произведения.

1. На промежутке $(-∞, -3)$:
   Пусть $x = -4$. Тогда:

   $$(x + 3) = -4 + 3 = -1, \quad (x - 7) = -4 - 7 = -11.$$

   Произведение: $(-1) \times (-11) = 11$ — положительное.

2. На промежутке $(-3, 7)$:
   Пусть $x = 0$. Тогда:

   $$(x + 3) = 0 + 3 = 3, \quad (x - 7) = 0 - 7 = -7.$$

   Произведение: $3 \times (-7) = -21$ — отрицательное.

3. На промежутке $(7, +∞)$:
   Пусть $x = 8$. Тогда:

   $$(x + 3) = 8 + 3 = 11, \quad (x - 7) = 8 - 7 = 1.$$

   Произведение: $11 \times 1 = 11$ — положительное.

Шаг 3: Подведем итог

Нас интересуют те значения $x$, при которых произведение $(x + 3)(x - 7)$ отрицательно. Это происходит на промежутке $(-3, 7)$.

Ответ:

Решением неравенства $(x+3)(x-7) < 0$ является интервал $x \in (-3, 7)$.

То есть, все значения $x$, которые находятся строго между $-3$ и $7$, удовлетворяют неравенству.