Пассажирский поезд проходит расстояние равное 480 км, на 4 часа быстрее, чем товарный. Найти скорость каждого поезда, если скорость товарного на 20 км/ ч меньше скорости пассажирского.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим переменные:

   • Пусть скорость пассажирского поезда будет $v_1$ (км/ч).
   • Пусть скорость товарного поезда будет $v_2$ (км/ч).

   По условию задачи, скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского:

   $$v_2 = v_1 - 20$$

2. Используем формулу для времени: Время, которое нужно поезду для прохождения расстояния, рассчитывается по формуле:

   $$t = \frac{S}{v}$$

   где:

   • $S$ — расстояние (в данном случае 480 км),
   • $v$ — скорость поезда.

   Таким образом, время в пути для каждого поезда:

   • Для пассажирского поезда:
   $$t_1 = \frac{480}{v_1}$$
   • Для товарного поезда:
   $$t_2 = \frac{480}{v_2} = \frac{480}{v_1 - 20}$$

3. Условие задачи про время: Из условия задачи известно, что пассажирский поезд проходит расстояние на 4 часа быстрее, чем товарный. Это значит, что время в пути пассажирского поезда на 4 часа меньше времени товарного поезда:

   $$t_2 - t_1 = 4$$

   Подставим выражения для $t_2$ и $t_1$:

   $$\frac{480}{v_1 - 20} - \frac{480}{v_1} = 4$$

4. Решаем уравнение: Приведем выражения к общему знаменателю:

   $$\frac{480v_1 - 480(v_1 - 20)}{v_1(v_1 - 20)} = 4$$

   Упростим числитель:

   $$480v_1 - 480(v_1 - 20) = 480v_1 - 480v_1 + 9600 = 9600$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$\frac{9600}{v_1(v_1 - 20)} = 4$$

   Умножим обе части уравнения на $v_1(v_1 - 20)$, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$9600 = 4v_1(v_1 - 20)$$

   Раскроем скобки:

   $$9600 = 4v_1^2 - 80v_1$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$4v_1^2 - 80v_1 - 9600 = 0$$

   Разделим все на 4, чтобы упростить уравнение:

   $$v_1^2 - 20v_1 - 2400 = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение: Мы решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Где $a = 1$, $b = -20$, $c = -2400$. Подставляем значения:

   $$v_1 = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(1)(-2400)}}{2(1)}$$ $$v_1 = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 9600}}{2}$$