Разложите на множители: 4х-х^2+у^2-4у

Чтобы разложить на множители выражение $4x - x^2 + y^2 - 4y$, начнем с того, что перепишем его в удобной для факторизации форме.

Шаг 1: Перепишем выражение

Мы видим, что выражение можно упорядочить по степени переменных. Получаем:

Теперь можем выделить каждую часть для дальнейшего разложения.

Шаг 2: Разложим по частям

1. Для $-x^2 + 4x$ — это выражение квадратное по $x$. Чтобы разложить его, выделим полный квадрат. Для этого можно извлечь минус за скобку:

Теперь дополним до полного квадрата. Чтобы из $x^2 - 4x$ получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $4$ (половина от коэффициента при $x$, возведенная в квадрат):

Таким образом, получаем:

2. Для $y^2 - 4y$ — также квадратное выражение по $y$. Дополняем его до полного квадрата:

Шаг 3: Подставим все обратно

Теперь подставляем полученные выражения обратно в исходное:

Приводим подобные:

Шаг 4: Разложим разность квадратов

Теперь у нас есть разность квадратов $(y - 2)^2 - (x - 2)^2$. Это можно разложить по формуле разности квадратов:

Заменяем $a = (y - 2)$ и $b = (x - 2)$:

Упрощаем скобки:

Ответ

Таким образом, разложенное на множители выражение: