Решите уравнение 1) 2cos^2x+cosx-1=0 2)4sin^2+11sinx-3=0 3)V3 tgx - V3 ctgx=2 4) sin2x+V3 cos2x=1

1) \(2\cos^2 x+\cos x-1=0\)

Пусть \(t=\cos x\). Тогда \(2t^2+t-1=0\), откуда \(t=\frac12\) или \(t=-1\).

Ответ: \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\), \(x=\pi+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

2) \(4\sin^2 x+11\sin x-3=0\)

Пусть \(t=\sin x\). Тогда \(4t^2+11t-3=0\). Получаем \(t=\frac14\) или \(t=-3\). Второй корень не подходит, потому что \(\sin x\) не может быть меньше \(-1\).

Ответ: \(x=(-1)^k\arcsin\frac14+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

3) \(\sqrt3\tg x-\sqrt3\ctg x=2\)

Делим на \(\sqrt3\): \(\tg x-\ctg x=\frac{2}{\sqrt3}\). Пусть \(t=\tg x\), тогда \(t-\frac1t=\frac{2}{\sqrt3}\). Получаем \(t=\sqrt3\) или \(t=-\frac1{\sqrt3}\).

Ответ: \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\), \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

4) \(\sin 2x+\sqrt3\cos 2x=1\)

Преобразуем левую часть: \(\sin 2x+\sqrt3\cos 2x=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\).

Тогда \(2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1\), значит \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\).

Ответ: \(x=-\frac{\pi}{12}+\pi k\), \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

0 0 Пожаловаться