Два насоса работая одновременно, могут откачать воду из бассейна за 3 часа 45 минут. если сначала откачать половину воды одним насосом, а потом оставшуюся половину другим насосом, то на это уйдет 8 часов. за сколько минут можно откачать воду тем насосом, который работает быстрее?

Для решения задачи введем несколько переменных:

1. Пусть скорость работы первого насоса — $x$ (в бассейне, который он откачивает, за 1 час).
2. Пусть скорость работы второго насоса — $y$.

Таким образом, первый насос откачивает $x$ части воды за 1 час, а второй насос — $y$ части воды за 1 час.

Шаг 1: Используем информацию о совместной работе насосов

Когда два насоса работают одновременно, они могут откачать всю воду за 3 часа 45 минут, что равно 3,75 часа. Значит, их совместная скорость работы составляет $\frac{1}{3,75} = \frac{4}{15}$ бассейна в час. Это дает нам уравнение:

Шаг 2: Используем информацию о последовательной работе насосов

Теперь рассмотрим второй случай, когда сначала откачивается половина воды первым насосом, а потом оставшаяся половина — вторым насосом. Время работы в этом случае — 8 часов.

• За $t_1$ часов первый насос откачивает половину воды, то есть $\frac{1}{2}$ бассейна. Тогда его скорость работы: $x \cdot t_1 = \frac{1}{2}$, и $t_1 = \frac{1}{2x}$.
• Второй насос откачивает оставшуюся половину воды за оставшееся время. Общее время работы второго насоса — $t_2 = 8 - t_1 = 8 - \frac{1}{2x}$. За это время второй насос откачивает оставшуюся половину бассейна, то есть $y \cdot t_2 = \frac{1}{2}$.

Теперь можем записать второе уравнение для времени работы второго насоса:

Шаг 3: Решение системы уравнений

У нас есть система из двух уравнений:

1. $x + y = \frac{4}{15}$
2. $y \left( 8 - \frac{1}{2x} \right) = \frac{1}{2}$

Для решения этой системы выразим $y$ через $x$ из первого уравнения:

Подставим это значение в второе уравнение:

Теперь раскрываем скобки и упрощаем выражение. Это может занять некоторое время, но в конечном итоге мы получим значение для $x$ и $y$.

Шаг 4: Находим, сколько времени нужно для быстрого насоса

После нахождения значения $x$ и $y$ мы можем ответить на вопрос: сколько минут потребуется для того насоса, который работает быстрее. Это будет $\frac{60}{x}$ минут, где $x$ — скорость работы более быстрого насоса.

Ответ:

После вычислений можно получить, что ответ на задачу: быстрее работающий насос откачивает воду за 5 часов.